15. Цена, объем, прибыль…

// Из книги В. Шуликовского «Практическое ценообразование»
Следующая глава
Назад
Предыдущая глава

Цена, максимизирующая прибыль

Или цена продукции или товара, при которой прибыль максимальна. Для начала отметим, что в случае постоянной эластичности существует точное решение для зависимости объема продаж от цены точное решение Q=Q(P).

Ценовая  эластичность Е  по определению есть отношение изменения объема продаж, выраженного в процентах, к изменению цены, также выраженному в процентах:

E = ΔQ/Q : ΔP/P

По-другому  это можно записать так:

ΔQ/ΔP = E Q /P

Напомню, что значком Δ принято обозначать изменение какой-то величины, или, другими словами,  ее приращения к первоначальному значению. Так, в  нашем случае, ΔP – приращение цены,  ΔQ – приращение объема. Для малых (а, точнее, бесконечно малых) приращений в математике используют понятие дифференциала (от лат. differentia — разность, различие; обозначается знаком d).

Дифференциал какой-либо величины является линейной частью ее приращения. Отношение дифференциалов  называется производной и показывает скорость изменения одной величины (например, суммы, уплаченной за некоторое количество сахарного песка) к изменению другой ( в нашем случае – количеству сахарного песка). «Скоростью» в этом примере будет ценой, и, очевидно, она  будет одной и той же, вне зависимости от количества покупаемого песка.

Возвращаясь к ценовой эластичности, мы можем переписать полученное соотношение с использованием дифференциалов:

dQ/dP = E Q /P

Если  считать объем продаж функцией цены, то есть,Q=Q(P), то мы получили  дифференциальное уравнение, которое в случае, когда эластичность Е можно считать постоянной величиной, имеет простое точное решение:

Q(P) = A PE

Где коэффициент А есть некоторая постоянная величина А = const, определяемая из начального условия.  Действительно, решение, которое описывает, как объем Q зависит от цены P, должно быть справедливо при любой цене, в том числе – и при первоначальной — при которой объем продаж нам известен.

Таким образом, можно записать:

A = Q0∙ (P0)E

Если использовать программу Excel, то это выражение будет записываться в ее обозначениях так:

A = Q0EXP(-ELN(P0))

Для нашего примера – компании XYZ — где первоначальной ценой была цена в 100 руб., а первоначальным объемом – 1000 единиц. Это то, что мы называли на диаграммах исходной точкой. В качестве эластичности возьмем Е = -4 (случай высоко-эластичного рынка). Тогда константу А достаточно легко определить:

А = 1000 ∙ 1004 = 1011

Не следует забывать, что предлагаемое точное решение применимо только для случая Е = const (то есть, когда ценовая эластичность постоянна). Сильно это ограничение сужает применимость полученного результата? Да, пожалуй, нет.

Во-первых, при незначительных изменениях цены эластичность всегда можно считать в первом приближении постоянной величиной.

Во-вторых, если бы ценовая эластичность  некоего товара сильно менялась уже при незначительном изменении цены, то в этом случае, вообще,  использование понятия эластичности вряд ли было бы оправданным.

В-третьих, допущение постоянства ценовой эластичности (Е=const), конечно,  есть определенная идеализация. Однако, вспомните, какие фигуры вы изучали в школе на уроках геометрии? Прямая, окружность, плоскость,  шар и т.п. А вы их видели в природе?  Нет, то, что вы видели — волны на поверхности моря, облако, лист дерева, тропинка в лесу и т.д. — не напоминает картинки из учебника. Ничего общего!

Планета Земля является в первом приближении шаром, но мы считаем футбольное поле плоским. Просто потому, что размеры поля намного меньше радиуса Земли и эффектом искривления земной поверхности в масштабах стадиона можно пренебречь.

Владелец автомобиля марки «Жигули» 1980 года выпуска привычно считает, что колеса его транспортного средства соответствуют геометрическому понятию «окружность», хотя на самом деле они давно уже ближе понятию «многоугольник». И хотя на наш уже универсальный тестовый вопрос: «Что ты думаешь, доедет то колесо в Москву, или не доедет?» владелец вполне возможно благоразумно даст отрицательный ответ, это не изменит его убеждения относительно геометрического синонима его четырех ходовых устройств.

Владимир Шуликовский
Владимир Шуликовский, кандидат физ.-мат. наук